Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов

Если $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ сходятся абсолютно, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{n}$ - сходится абсолютно, где $c_{n} = a_{i}b_{j}$ - всевозможные произведения. Причём $\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$

Заметим, что: $$\sum_{k=1}^{n^{2}} |c_{k}^{*}| = \left(\sum_{i=1}^{n} |a_{i}|\right) \cdot \left(\sum_{j=1}^{n} |b_{j}|\right)$$ где ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}^{*}$ является перестановкой ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty} c_{k}$, полученного путём суммирования по квадратам элементов бесконечной матрицы: $$\begin{pmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & \dots \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & a_{2}b_{3} & \dots \\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & a_{3}b_{3} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$ Пусть $A = \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$ и $B = \sum\limits_{n=1}^{\infty} |b_{n}|$. По условию $A, B < \infty$. Любая конечная сумма $\sum\limits_{k=1}^{N} |c_k|$ содержится в некоторой сумме по квадрату $\sum\limits_{i=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{M} |a_i b_j| = \left(\sum\limits_{i=1}^{M} |a_i|\right)\left(\sum\limits_{j=1}^{M} |b_j|\right) \le A \cdot B$. Частичные суммы ряда $\sum |c_k|$ с неотрицательными членами ограничены сверху, значит ряд сходится, т.е. $\sum c_k$ сходится абсолютно. В силу абсолютной сходимости, сумма ряда не зависит от порядка членов, поэтому её можно вычислить суммированием по квадратам: $$\sum_{k=1}^{\infty} c_{k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} c_{k}^{*} = \lim_{n \to \infty} \left( \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \left(\sum_{j=1}^{n} b_{j}\right) \right) = \left(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\right) \left(\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\right).~~~\square$$